Séjours sur mesure

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une agence de voyages spécialisée dans l’élaboration de séjours sur mesure dresse le bilan de son activité pour l’année \(2018\). Les données collectées par l’agence permettent de dresser un tableau relatif au nombre de séjours effectués sur le continent américain en \(2018\).

1. On choisit au hasard un dossier parmi les \(700\) dossiers concernant les séjours effectués sur le continent américain en \(2018\). Tous les choix sont supposés équiprobables. On définit les événements suivants :

• \(\text{A}\) : « le séjour est un séjour aux États-Unis » ;
• \(\text{B}\) : « le séjour est un séjour avec location de véhicule ».

    a. Définir par une phrase l’événement \(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\).
    b. Calculer la probabilité de l’événement \(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\).
    c. On choisit un dossier parmi les dossiers concernant des séjours effectués aux États-Unis. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un séjour sans location de véhicule ?

2. L’agence a vendu \(3~200\) séjours dans le monde en \(2018\), dont \(400\) aux États-Unis. On prélève deux dossiers parmi les \(3~200\) dossiers. La quantité de dossiers est suffisamment importante pour que ces prélèvements soient assimilés à des tirages successifs avec remise. On note \(\text{S}\) l’événement : « le dossier ouvert correspond à un séjour aux États-Unis ». \(X\) désigne la variable aléatoire comptant le nombre de dossiers ouverts correspondant à un séjour aux États-Unis.
    a. Définir par une phrase l’événement \(\{ X=1\}\) et calculer la probabilité de cet événement.
    b. Donner la loi de probabilité de \(X\) en présentant les résultats dans un tableau.